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El sultán y el acertijo de los turbantes

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Un “sultán” convoca a los tres “lógicos” de su pueblo y les dice que necesita un nuevo visir que lo ayude a pensar. Les coloca un turbante a cada uno, de manera tal que, (como es de esperar), todos pueden ver el turbante de todos los demás menos el propio. Cada turbante es de color blanco o azul. El sultán les garantiza que al menos uno de los turbantes va a ser azul… o sea, o bien habrá uno azul, o dos azules o tres azules, pero seguro que no pueden ser los tres blancos.

Empieza a correr el tiempo y a una señal, el que sepa su color de turbante debe decirlo y explicar cómo lo supo. Si a la señal, ninguno dice el color de turbante que tiene, se volverá a comenzar hasta una nueva señal. En ese momento, el sultán volverá a preguntar si alguien sabe ahora qué color de turbante tiene… y así siguiendo, de vez en vez. Ésas son las reglas.

Podemos imaginar estas tres situaciones:

1) En la primera, luego de que pasa un determinado tiempo, uno de los lógicos se levanta y dice el color de turbante que tiene.
2) En la segunda, otra vez, después de esperar un rato, son dos los lógicos que se levantan y dicen su color de turbante en forma correcta.
3) Y la última es cuando —después de esperar un rato— los tres se levantan al mismo tiempo y anuncian su color de turbante acertadamente.

¿Podríamos explicar qué tipo de distribución había hecho el sultán en cada situación y cuánto tiempo hubo que esperar en cada caso?

Solución: Supongamos que usted es uno de los participantes. Empieza el juego y usted mira a las otras dos personas. Pueden pasar tres cosas:

a) Usted ve dos turbantes blancos.
b) Usted ve uno blanco y uno azul.
c) Usted ve dos azules.

Analicemos juntos cada caso.

a) Si usted ve dos turbantes blancos, como el sultán dijo que al menos uno va a ser azul, entonces, al cumplirse el tiempo, usted se levanta y dice que tiene color azul. No hay otra alternativa: uno de los tres tiene que ser azul. Si usted ve que los otros dos tienen color blanco, no queda más remedio de que usted sea el que usa el turbante azul. Esto explica la primera situación planteada en el problema original: se levanta una sola persona (en este caso usted) y eso sucede después de haber recorrido el primer período.

b) Si usted ve un turbante azul y uno blanco, entonces, en principio no puede decidir qué tiene. Cuando se cumple el primer período, usted espera saber qué es lo que hacen los otros. Claramente usted no está en condiciones de decir nada, pero si la persona que tiene el turbante azul, estuviera viendo que usted tiene un turbante blanco… como el otro TAMBIÉN tiene un turbante blanco, esa persona tendría que decir: “yo sé lo que tengo: ¡es azul!”. Luego, pasado el tiempo, o bien la persona que tiene el turbante azul dice que tiene azul y se termina el juego, o bien, no dice nadie nada. Si así fuere entonces usted sabe que cuando se cumplan los dos primeros períodos, usted va a poder decir con seguridad que tiene un turbante azul. Por supuesto, con la misma lógica que usted, la otra persona que tiene el turbante azul, verá desde el principio que hay uno que tiene azul y otro blanco… y por lo tanto se levantará también sabiendo lo que tiene. O sea, en este caso, habrá dos de los participantes (usted y otro) que sabrán qué color de turbante tienen, siempre y cuando tengan la paciencia de esperar dos períodos.Esta distribución de turbantes explica la segunda situación planteada en el problema original: se levantan dos de los participantes y para que esto suceda tuvieron que pasar exactamente dos períodos.

c) Si usted ahora viera que las otras dos personas tienen turbantes azules, usted, igual que antes, no podrá decir nada en el primer período, seguro. Sin embargo, si su turbante fuera blanco, los otros dos participantes estarían en las condiciones del paso anterior (o sea, en [b]). Entonces, al pasar el primer período, sin duda nadie puede decir nada, pero al cumplirse el segundo período, seguro que los dos tendrían que decir que tienen turbante azul. Si también pasa el segundo período y nadie pudo decir lo que tenía, entonces, inexorablemente, al cumplirse el tercer período, los tres sabrían qué color de turbante tienen: ¡todos azules!. Y este caso contempla la tercera situación planteada, ya que es la única posibilidad para que se levanten los tres, y eso sucedió después de que hubiera transcurrido el tercer período.

Nota final: Estamos seguros de que problemas de este tipo no se van a cruzar jamás en nuestro camino: ya no es más época ni de sultanes, ni de visires nombrados “a dedo”, y quizás, ni siquiera de turbantes. ¿Por qué habríamos de difundirlo?. Porque la vida cotidiana plantea casi a diario situaciones en donde uno necesita hacer un análisis más fino sobre los caminos a seleccionar en cada caso, y entrenarse en entender las decisiones que podrían tomar las otras personas que nos rodean y, por lo tanto, afectar las nuestras. Explorar distintas estrategias, leer lo que hacen —o podrían hacer— los otros, entender la lógica que podrían estar usando también es hacer matemática. Por eso lo difundimos.

Por Adrián P.

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